第5章(前半)
5.1<一様分布>
(1)[0,6]上の一様分布の密度関数、期待値、分散
密度関数
期待値
分散を使います。
よって
(2)(1)と同じ確率分布においてチェビシェフの不等式の成立
まず、チェビシェフの不等式を示します。
いかなる不等式においても
が成り立つことです。
であるため
を示せばよいです。
図示すると、
このようになるため、青で塗りつぶされた部分の面積が左辺となります。
つまり、
よって
を示せばよいです。
この不等式の証明は面倒くさいので省略しますが、(右辺)-(左辺)をしてk^2>0を両辺に掛けて3次関数にして微分して~ってすればいけます。これによりチェビシェフの不等式が証明できました。
(3)[0,1]上の一様分布の歪度、尖度
より
歪度(わいど)は
から求まる。歪度を求める下準備をする。
これらを使って
よって歪度は0
尖度(せんど)は
(3は正規分布と比較するための数値)
よって
5.2
該当のデータが見つからなかったので省略
5.3<聖ペテルスブルクの逆説>
コインを繰り返し投げ、初めて表がでた時に終了する。n回目である時に 円を得ることができる
(1)得られる額Xの確率分布
(2)E(X)は存在しないことを示せ
(1)コインを連続して裏を出し続けると考えると、
(2)それでは先ほど求めた確率分布の期待値を出します。
期待値が∞となったため存在しないことの証明となりました。この問題は聖ペテルスブルクの逆説と呼ばれており、直感的な期待値と統計的推測が異なるものです。
数学って面白い!? : 聖ペテルスブルグのパラドクス - livedoor Blog(ブログ)
5.4<最小平均2乗>
とその最小値
ここで、
より
よって
最小値は