情報学部大学生のダラダラ日記

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2次方程式や3次方程式の解と係数の関係の導出方法

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 解と係数の関係、知っていますでしょうか。結構な頻度で使われるので受験を経験した人達は覚えていると思います。しかしセンター試験レベルだとせいぜい使っても2次方程式の解と係数の関係ぐらいなので暗記でも乗り越えられるのですが、突然3次方程式の解と係数の関係を使う問題がでた時に困ります。そんな時に導出方法を知っていると役に立つと思うので知らない受験生は知り得です。

2次方程式の解と係数の関係

2次方程式{\displaystyle ax^2+bx+c=0 }が2つの解{\displaystyle α,β }を持つとき、

{\displaystyle α+β=-\frac{b}{a} }

{\displaystyle αβ=\frac{c}{a} }

が成り立ちます。僕は「マイナス(-)を忘れる奴はば(ba)か(ca)」と覚えろと教わりました。まず、2つの方法で2次方程式における関係を導出してみます。

 

 

1つ目は解の公式を使います。

 x=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

この場合、解は{\displaystyle α,β }なので

{\displaystyle α+β=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}+\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-2b}{2a}=-\frac{b}{a}}

{\displaystyle αβ=\frac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2}=\frac{c}{a} }

となります。

 

2つ目は因数定理を使います。

※因数定理

{\displaystyle f(x)が(x-α)を因数(掛け算として表したときにその個々の数のこと)持つことはf(α)=0となるための必要十分条件である }

 

これを使うことにより

{\displaystyle ax^2+bx+c=0がα,βを解に持つ⇔A(x-α)(x-β)=0 }とすることができます。

右辺を展開すると

{\displaystyle Ax^2-A(α+β)x+Aαβ=0 }となります。そこで元の式と比較すると

{\displaystyle a=A }

{\displaystyle b=-A(α+β) }

{\displaystyle c=Aαβ }となるのでここから

{\displaystyle α+β=-\frac{b}{a} }

{\displaystyle αβ=\frac{c}{a} }が求められます。

 

2つ導出方法を紹介しましたがどちらを覚えるべきでしょうか?どちらも覚えてほしいですが重要なのは2つ目です。理由は解の公式は4次式までしかありませんし、とてもじゃありませんが覚えるなんて不可能に近いです。とりあえず2つ目の方法を使って3次方程式の解と係数の関係を求めてみます。

{\displaystyle ax^3+bx^2+cx+d=0 }が3つの解{\displaystyle α,β,γ }を持つとき、因数定理より

{\displaystyle A(x-α)(x-β)(x-γ)=0 }となります。展開すると

{\displaystyle Ax^3-A(α+β+γ)x^2+A(αβ+βγ+γα)x-Aαβγ=0 }となるので係数比較すると

{\displaystyle α+β+γ=-\frac{b}{a} }

{\displaystyle αβ+βγ+γα=-\frac{c}{a} }

{\displaystyle αβγ=-\frac{d}{a} }となります。

まだ2次と3次しか見ていませんが何か規則性が"観えて"きますね。ムムッ

1次の時は{\displaystyle α=-\frac{b}{a} }ですし多分解を足したら同じ結果になるんでしょうね。あとは解を掛けたら定数項/aとか。

さいごに

 今回は手計算でごり押し風に3次までやりましたが5次あたりからきつくなると思います。なのでn次として一般化しなければならないのですが、そこは僕も受験生時代お世話になった以下のサイトさんがやっててくれました。

mathtrain.jp

上のサイトにあるならやらなくていいんじゃないかという声が聞こえてくる気がしますが、高校数学あたりの公式の証明って良い頭の体操になるんですよ。それに"調べれば"出てくるという仮定つきなので調べなくても誰かの目に留まればいいなって感じです。自己満です。頭の体操としてやったのでサイトを観ていません。なのでもし間違っているところ等あればこっそり教えてください。

 

 おわり。

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