解と係数の関係、知っていますでしょうか。結構な頻度で使われるので受験を経験した人達は覚えていると思います。しかしセンター試験レベルだとせいぜい使っても2次方程式の解と係数の関係ぐらいなので暗記でも乗り越えられるのですが、突然3次方程式の解と係数の関係を使う問題がでた時に困ります。そんな時に導出方法を知っていると役に立つと思うので知らない受験生は知り得です。
2次方程式の解と係数の関係
2次方程式が2つの解を持つとき、
が成り立ちます。僕は「マイナス(-)を忘れる奴はば(ba)か(ca)」と覚えろと教わりました。まず、2つの方法で2次方程式における関係を導出してみます。
1つ目は解の公式を使います。
この場合、解はなので
となります。
2つ目は因数定理を使います。
※因数定理
これを使うことにより
とすることができます。
右辺を展開すると
となります。そこで元の式と比較すると
となるのでここから
が求められます。
2つ導出方法を紹介しましたがどちらを覚えるべきでしょうか?どちらも覚えてほしいですが重要なのは2つ目です。理由は解の公式は4次式までしかありませんし、とてもじゃありませんが覚えるなんて不可能に近いです。とりあえず2つ目の方法を使って3次方程式の解と係数の関係を求めてみます。
が3つの解を持つとき、因数定理より
となります。展開すると
となるので係数比較すると
となります。
まだ2次と3次しか見ていませんが何か規則性が"観えて"きますね。ムムッ
1次の時はですし多分解を足したら同じ結果になるんでしょうね。あとは解を掛けたら定数項/aとか。
さいごに
今回は手計算でごり押し風に3次までやりましたが5次あたりからきつくなると思います。なのでn次として一般化しなければならないのですが、そこは僕も受験生時代お世話になった以下のサイトさんがやっててくれました。
上のサイトにあるならやらなくていいんじゃないかという声が聞こえてくる気がしますが、高校数学あたりの公式の証明って良い頭の体操になるんですよ。それに"調べれば"出てくるという仮定つきなので調べなくても誰かの目に留まればいいなって感じです。自己満です。頭の体操としてやったのでサイトを観ていません。なのでもし間違っているところ等あればこっそり教えてください。
おわり。
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