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統計学入門(基礎統計学Ⅰ)第5章演習問題後半

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第5章後半

5.5

正n面体で1,2,...nの乱数を発生させる。乱数の期待値と分散を求めよ。

ただし正n面体は4,6,8,12,20を表す。 

密度関数は1~nが一様に並んでいるため{\displaystyle f(k)=\frac{1}{n} }となる。

ゆえに期待値は{\displaystyle E(X)=\sum_{k=0}^n k*\frac{1}{n}=\frac{n(n+1)}{2}*\frac{1}{n}=\frac{n+1}{2} } 

また、同様に

{\displaystyle E(X^2)=\sum_{k=0}^n k^2*\frac{1}{n}=\frac{(n+1)(2n+1)}{6} }

よって分散は

{\displaystyle V(X)=\frac{(n+1)(2n+1)}{6}-\frac{(n+1)^2}{4}=\frac{n^2-1}{12} }

5.6<一様分布の平方変換>

確率変数Xが[0,1]上の一様分布に従うとき、{\displaystyle X^2 }の累積分布関数、密度関数、期待値、分散を求めよ 

累積分布関数は省略します。密度関数を積分するだけで累積分布関数が求まるので。

{\displaystyle y=g(X)=x^2 }から、{\displaystyle x=\sqrt{y}(x≥0) }より

{\displaystyle \frac{dx}{dy}=\frac{1}{2\sqrt{y}} }

よって密度関数h(y)は

{\displaystyle h(y)=f(g^{-1}(y))\frac{dx}{dy} }

xの密度関数は{\displaystyle f(x)=1 }より

{\displaystyle h(y)=1*\frac{1}{2\sqrt{y}}=\frac{1}{2\sqrt{y}} }

次は期待値です。

{\displaystyle E(y)=E(g(x))=\int_0^1 yh(y)dy\\=\int_0^1g(x)f(x)dx=\frac{1}{3}}

分散は

{\displaystyle V(y)=V(g(x))=\int_0^1(y-E(y))h(y)dy\\=\int_0^1(g(x)-E(y))^2f(x)dx=\frac{4}{45} }

5.7<正規分布の平方変換>

正規分布Xがμ=0.σ=1に従うとき、{\displaystyle X^2 }の累積分布関数、密度関数、期待値、分散

基本的に先ほどと同様なので大幅に省略して書きます。

{\displaystyle f(x)=\frac{1}{\sqrt{2π}}\exp{-\frac{x^2}{2}} }

{\displaystyle y=g(x)=x^2 }

{\displaystyle x=±\sqrt{y} }

今回の正規分布Xはx=0において対象であるため、x≥0(x=+√y)とし、2倍する。

{\displaystyle h(y)=2*\frac{e^{-\frac{y}{2}}}{\sqrt{2π}}*\frac{1}{2\sqrt{y}}=\frac{e^{-\frac{y}{2}}}{\sqrt{2πy}} }

すみません、さすがにTEXを書くにも読むにも疲れたので期待値と分散は省略します。ガウス積分を用いるので注意してください。

5.8

累積分布関数は{\displaystyle F(x)=P(X≦x)で定義されるが、G(x)=P(X＜x)) }で定義される場合どこが異なるか、2項分布の例で示せ。

A.左連続となる。

数式的な証明は筆者はできないが、≦であった場合、限りなくlim[x→x0]F(x)とF(x0)が異なることは離散型確率分布の累積分布関数を考えればわかるであろう。しかしこれを<とすることでx0へはそもそも定義されない。ゆえに左連続といえるのではと解釈した。

ここは自信がないためまた理解できたら記述する。

https://mathtrain.jp/sayuulimit

http://user.numazu-ct.ac.jp/~hmatsu/14resume06.pdf

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