統計学入門(基礎統計学Ⅰ)第7章演習問題前半

次の分散の式を証明せよ

(1) $V(X+Y)=V(X)+V(Y)+2Cov(X,Y)$

(2) $V(aX+bY)=a^2V(X)+b^2V(Y)+2abCov(X,Y)$

$Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)$ を用いて証明します。

(2)は $V(aX)=a^2V(X)$ であることに注意してください。

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(1) $E(R_ρ),V(R_ρ)$ を求めよ

(2) $V(R_ρ)$ の最小値を求めよ

(3)省略

通常通り期待値と分散を求めます。そして(2)ではその求めた分散をxについての関数として考えることで微分して最小値を求めます。

ここで注意すべきなのは分散の関数が下に凸であることと、最小値をとるxの値が相関係数と分散によって変わってしまうことです。本当に下に凸であるか確かめてみてください。

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2つのつぼA,Bの中に3個のボールを投げ入れる。つぼＡの中に入ったボールの数をＸ，ボールの入っているツボの数をＹとするとき、Ｘ，Ｙの同時確率分布を求めてＸはＹとは無相関であるが、独立でないことを示せ。

XとYが無相関⇔Cov(X,Y)=0であることと、XとYが独立でない⇔P(X,y)≠P(X)P(Y)であることを目標にして解いていきます。

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2つの物体A,Bの重さma,mbを測りたい。Ａ，Ｂそれぞれを片側に乗せて測る方法(Ⅰ)と一方にＡ，Ｂ両方を載せて重さの和を測り、天秤の両方に乗せて差を測りそこから算出する方法(Ⅱ)がある。どちらがより優れた測定方法か答えよ。ただし、天秤の測定誤差の分散はつねに $σ^2$ である。

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U=aX+b,V=cY+d(ac>0)のとき、

$ρ_{UV}=ρ_{XY}$ を証明せよ

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