情報学部大学生のダラダラ日記

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勉強したことをアウトプットします。だらだら読んでいただけると助かります。

統計学入門(基礎統計学Ⅰ)第7章演習問題後半

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第7章後半

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parco1021.hatenablog.com

7.6<2次元正規確率変数の生成>

X,Yは独立で、ともに標準正規分布N(0,1)に従う確率変数とする。

(1)定数cを適当に選んでX,cX+Yの相関係数が0.5となるようにせよ

(2)同じく、ρとなるようにせよ

(3)X,Yから、与えられた2次元正規分布 N( (0,0),(σ_1^2,σ_2^2,σ_1σ_2ρ)) に従う確率変数U,Vを作れ

(3)は(2)を利用して解きます。(2)を利用せずにU=aU'+b,V=cV'+dとおいても解けますが、せっかくなので(2)を使いましょう。

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7.7<システムの直列と並列>

 システム S_1,S_2の寿命X_1,X_2 は確率変数であって独立で、指数分布 Ex(λ) に従っている。

(1) S_1,S_2が並列に結合されている全体システムの寿命Yの確率分布を求めよ

(2)同じく、直列の場合はどうか

答案に書いてある通りなのですが、並列システムは全てのシステムがダウンした時にそのシステムがダウンし、直列システムはどれか1つでもシステムがダウンするとそのシステムがダウンします。ゆえに(並列システム)=Max(各システム)、(直列システム)=Min(各システム)となります。

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7.8<極値統計学>

確率変数 X_1,X_2,...,X_nは独立で、同一の確率分布に従っている。その密度関数をf(x),累積分布関数をF(x)とする。最大値、最小値

U=Max(X_1,X_2,...,X_n), V=Min(X_1,X_2,...,X_n)

のそれぞれの累積分布関数および密度関数を

(1)f(x)が[0,1]上の一様分布の場合

(2)f(x)が指数分布Ex(λ)の場合

(3)f(x)が一般の連続分布の場合

のそれぞれの場合に対して求めよ。

7.7と同じ解き方をします。

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7.9<たたみこみの計算>

たたみこみの直接計算によって、二項分布、ポアソン分布、正規部ぬの再生性を証明せよ。すなわち、 X,Yが独立で

(1)pが等しい二項分布に従うならば、X_1+X_2も二項分布に従う

(2)ポアソン分布に従うならば、X_1+X_2ポアソン分布に従う

(3)正規分布に従うなら、X_1+X_2正規分布に従う

ことを証明せよ 

(1)において、ヴァンデルモンドの畳み込みを使用しています。これについては本記事では触れないので以下のサイトを参照してください。

mathtrain.jp

(3)の最後はガウス積分を用いても良いのですが、筆者は正規分布積分(=1)として考えています。本質的にはどちらも変わりません。計算量がとても多いですが頑張りましょう。

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