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統計学入門(基礎統計学Ⅰ)第5章演習問題前半

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第5章(前半)

5.1<一様分布>

(1)[0,6]上の一様分布の密度関数、期待値、分散

密度関数 $f(x) = \frac{1}{6} (0≦x≦6)$

期待値 $\int_0^6 xf(x)dx = \int_0^6 x\frac{1}{6}dx=3$

分散 ${\displaystyle V(X) = E(X^2)-E(X)^2}$ を使います。

$E(X^2)=\int_0^6 x^2\frac{1}{6}dx = 12$

よって

$V(X)=12-3^2=3$

(2)(1)と同じ確率分布においてチェビシェフの不等式の成立

まず、チェビシェフの不等式を示します。

いかなる不等式においても

$P(|X-μ|≥kσ)≦\frac{1}{k^2}$ が成り立つことです。

$μ=3,σ=\sqrt{3}$ であるため

$P(|x-3|≥\sqrt{3}k)≦\frac{1}{k^2}$ を示せばよいです。

図示すると、

f:id:Parco1021:20200417165422p:plain

このようになるため、青で塗りつぶされた部分の面積が左辺となります。

つまり、

$(左辺)=2*(3-\sqrt{3}k)*\frac{1}{6}=1-\frac{k}{\sqrt{3}}$

よって

$1-\frac{k}{\sqrt{3}}≦\frac{1}{k^2}$ を示せばよいです。

この不等式の証明は面倒くさいので省略しますが、(右辺)-(左辺)をしてk^2>0を両辺に掛けて3次関数にして微分して～ってすればいけます。これによりチェビシェフの不等式が証明できました。

(3)[0,1]上の一様分布の歪度、尖度

$E(X-μ)^3=E(X^3)-3μE(X^2)+3μ^2E(X)-μ^3$

$μ=E(X)$ より

${\displaystyle E(X-μ)^3=E(X^3)-3μE(X^2)+2μ^3 }$

歪度(わいど)は

$α^3=\frac{E(X-μ)^3}{σ^3}$ から求まる。歪度を求める下準備をする。

$E(X^3)=\int_0^1x^3*1dx=\frac{1}{4},\\E(X^2)=\frac{1}{3},E(X)=\frac{1}{2}$

これらを使って

$E(X-μ)^3=\frac{1}{4}-3*\frac{1}{2}^2*\frac{1}{3}+3*\frac{1}{2}^3=0$

よって歪度は0

尖度(せんど)は

$α^4-3=\frac{E(X-μ)^4}{σ^4}-3$ (3は正規分布と比較するための数値)

$E(X-μ)^4=E(X^4)-4μE(X^3)+6μ^2E(X^2)-3μ^4\\=\frac{1}{80}$

$σ^2=E(X-μ)^2=E(X^2)-2μE(X)+μ^2=\frac{1}{12}$

よって

$α^4-3=\frac{9}{5}-3=-\frac{6}{5}$

5.2

該当のデータが見つからなかったので省略

5.3<聖ペテルスブルクの逆説>

コインを繰り返し投げ、初めて表がでた時に終了する。n回目である時に $2^n$ 円を得ることができる

(1)得られる額Xの確率分布

(2)E(X)は存在しないことを示せ

(1)コインを連続して裏を出し続けると考えると、

$P(X=2^k)=\frac{1}{2^k}$

(2)それでは先ほど求めた確率分布の期待値を出します。

$E(X)=\sum_{k=1}^∞2^k*\frac{1}{2^k}=∞$

期待値が∞となったため存在しないことの証明となりました。この問題は聖ペテルスブルクの逆説と呼ばれており、直感的な期待値と統計的推測が異なるものです。

数学って面白い！？ : 聖ペテルスブルグのパラドクス - livedoor Blog（ブログ）

5.4<最小平均2乗>

$E(X-a)^2を最小にするa$ とその最小値

$E(X-a)^2=E(X^2)-2aE(X)+a^2$

ここで、

$E(X-μ)^2=E(X^2)-E(X)^2=σ^2$ より

$E(X^2)=σ^2+μ^2$

よって

$E(X-a)^2=σ^2+μ^2-2aμ+a^2$

$E(X-a)^2=(a-μ)^2+σ^2$

最小値は

$a=μ=E(X)の時、σ^2$

リンク

後半↓↓

parco1021.hatenablog.com

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